Алексей Савватеев

У Ферма было много теорем, из них к арифметике относятся три основных:
Малая теорема Ферма, Рождественская теорема Ферма и Великая, она же
Последняя теорема Ферма. Про последнюю написаны книги, а доказательство
занимает несколько сотен страниц. В то же время две оставшиеся, потрясающе красивые как по формулировке, так и в плане многочисленных доказательств, могут быть изложены за полтора часа. В чём вы и убедитесь на лекции!

Полковник Блотто выстроил британские полки против француза майора Бэлони. Война идёт сразу на нескольких участках фронта. Война империалистическая, за ресурсы третьих стран. Выигрыш каждого из них равен числу полей сражения, на которых удалось победить соперника (победа достигается при простом численном перевесе, но это предположение легко обобщить на различную военную мощь двух держав).

Как надо расставлять полки? Какое равновесие в игре расстановки полков? Игра Блотто является очень естественной формализацией многих конфликтов (два претендента на американский престол при проведении предвыборной кампании пользуются той же моделью). Сформулированная в 1920 году, она получила полное решение в 2006-м, да и то с рядом оговорок. Я введу слушателей в курс дела, не останавливаясь на многочисленных технических тонкостях.

Я начну с обсуждения операции суммирования по Минковскому для подмножеств натурального ряда, а закончу квадратичным законом взаимности и теоремой о существовании первообразного корня. По пути мы пройдём через Основную Теорему Арифметики, а также через Малую теорему Ферма. Арифметика в полный рост!

Между Пи и Е существует незримая связь, обеспечиваемая Формулой Эйлера — главной формулой математики. Помимо этой связи, их роднит сложнейшая арифметическая природа — оба они «трансцендентные», то есть ни одно из них не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Тонкости приближения числа Пи вскрыты Эйлером (а число Е и так прекрасно приближается «своим» рядом обратных факториалов). Об этом и обо многом другом я и расскажу в лекции!

Какой массой горючего надо запастись, чтобы на орбиту вывести столько-то груза?
За сколько дней зарастает пруд?
Как меняется давление на высоте?
Что такое радиоактивный распад?
Как рождаемость влияет на динамику населения?
Как растут числа Фибоначчи?
Что такое сложные проценты, и как ими пользоваться?
Шутник перемешал пальто в гардеробе. С какой вероятностью одно из них осталось на месте?
Все эти вопросы — про число Е, великое и ужасное!
Приходите на лекцию — и поймёте, почему (и что такое Е)!

У Ферма было много теорем, из них к арифметике относятся три основных:
Малая теорема Ферма, Рождественская теорема Ферма и Великая, она же
Последняя теорема Ферма. Про последнюю написаны книги, а доказательство
занимает несколько сотен страниц. В то же время две оставшиеся, потрясающе
красивые как по формулировке, так и в плане многочисленных доказательств,
могут быть изложены за полтора часа. Рождественскую теорему Ферма мы с
вами полностью разберём — вместе с невероятным доказательством методом
«крылатых квадратов Спивака» придуманным им всего 20 лет назад!

Блез Паскаль — один из самых «крутых» учёных 17 века. Основоположник теории вероятностей как строгой науки, первооткрыватель точного закона зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря, изобретатель первого в истории «компьютера» —счётной машины «Паскалины» (значительно превосходящей по скорости допотопные абаки),
изобретатель гидравлического пресса, он оставил своё имя в треугольнике Паскаля, таким образом отметившись ещё и в комбинаторике (помимо физики, математики и информатики). Но и это ещё не всё: Паскаль живо интересовался духовными вопросами, был глубоко верующим человеком. Я расскажу про
основные научные и практические открытия этого гениального учёного, в качестве вишенки на торте — изобретателя самой концепции общественного транспорта (тогда это был «омнибус»).

«Король математики» прожил долгую и плодотворную научную жизнь, в конце которой выучил русский язык, чтобы читать в оригинале гениальные творения Николая Ивановича Лобачевского. Я расскажу, как его отец не давал ему заниматься математикой, но сдался после величайшего открытия, сделанного Гауссом в возрасте 19 лет (!). Докторская диссертация Гаусса защищена им в 22 года и содержит ни больше ни меньше, чем Основную Теорему Алгебры. Но венцом своей деятельности сам Гаусс считал «Квадратичный закон взаимности», которому сам дал аж 8 разных доказательств! Как минимум, мы этот закон сможем сформулировать, ну и испытать на каких-то конкретных примерах!

В какой момент надо стрелять, преследуя кабана?
Как поймать вора и вернуть украденный им рюкзак?
Как определить точную координату нарушения границы, имея в распоряжении фотоснимок момента нарушения?
Сколько надо человек на плоскости, чтобы поймать беглеца, скорость которого совпадает со скоростью ловцов?
С какой скоростью передвигаются двое ребят с одним велосипедом? А если ребят трое, а велосипед один?
Эти и другие задачи мы сформулируем строгим образом, после чего получим их полное либо частичное решение.

Один из самых распространённых алгоритмов секретной передачи данных, называемый RSA, содержит в своём ядре очень красивую и нетривиальную, хоть и абсолютно школьную, математику. Эйлер мог построить эту схему, но ему и в голову не могло прийти, что арифметика остатков окажет пользу миру! Я расскажу про целый ряд таких ситуаций, когда математики сперва вдохновенно и отрешённо что-то писали на бумаге, а потом их результаты буквально переворачивали мир. Ну и вообще, поговорим о том, какими смыслами живут самые загадочные люди на планете земля — жрецы чистой математики.